Puzle multiplicatiu. Model d’àrea o matriu com a representació de la idea de multiplicació

Paraules Clau: multiplicació, representació, model, propietat distributiva, àlgebra, material, primària, ESO

 

 

Introducció

 

A diferència d’altres entrades, en què mostrem un problema com a recurs d’aula, aquesta vegada aprofitem un problema de la segona fase del FM19 de 1r ESO, com a introducció d’una representació del concepte de multiplicació que és molt potent i que, més endavant, ens servirà per treballar significativament continguts algebraics tan importants a l’ESO com els productes de polinomis i les equacions de 2n grau. 

És un model força estès als països anglosaxons i que ara comença a entrar en les nostres aules. Per una banda potencia la mirada de la multiplicació a partir del producte d’elements en files i columnes (matriu, en anglès array model) i que pot servir per treballar aquesta visió geomètrica a les primeres etapes educatives. Per altra també relaciona la multiplicació amb el model continu i amb l’àrea dels rectangles.

L’enunciat del problema deia així: 

Per què aquest model o representació del producte?

 

  • Perquè dona una representació visual i geomètrica del producte (files x columnes).
  • Treballa l’estructura multiplicativa dels nombres, concepte fonamental a primària i secundària.
  • Fomenta l’ús de la propietat distributiva dels nombres i la fa servir per tenir agilitat en el càlcul mental.
  • Moltes escoles introdueixen aquest mètode a primària ja que proposa una comprensió més significativa de la multiplicació a diferencia dels “algorismes tradicionals”.
  • Permet la flexibilitat en el càlcul numèric i mental alhora que treballa el sentit numèric ja que permet més d’una manera d’arribar a la solució depenent de com agrupem els factors.
  • En els inicis, la introducció d’aquesta representació, permet el treball amb material manipulatiu (blocs multilinks, regletes,..) i apps que ajuden a la comprensió i abstracció de la mateixa. 
  • En cursos posteriors, es pot aplicar en multiplicacions algebraiques de polinomis com per exemple: (x+3)(x+10).  
  • També en cursos posteriors, permet la comprensió del mètode de resolució d’equacions de 2n grau.

El model d’àrea o matriu s’utilitza com a eina i representació de moltes idees fonamentals en matemàtiques:

  • Multiplicació
  • Propietat distributiva amb nombres enters
  • Cerca de l’àrea amb dimensions de nombre enter
  • Quadrats perfectes i arrels quadrades
  • Multiplicar un binomi per monomi
  • Multiplicar un binomi per binomi 
  • Factorització 

(https://tapintoteenminds.com/progression-of-multiplication/)

El terme matriu o “array” vol dir grup d’objectes ordenats en files i columnes. 

En la introducció del concepte de multiplicació, es fa servir molt el model de suma repetida: 

3 vegades 2 = 3 · 2 = 2 + 2 + 2 

però cal tenir en compte aquest model geomètric rectangular que es pot treballar també amb material manipulatiu i que ens porta també a la connexió amb el concepte d’àrea i, més endavant, en el cas de 3 factors ens portarà al concepte de volum.

Matriu de 3 grups de 6 amb Salt de recompte

Aquesta és una representació molt potent de l’estructura multiplicativa dels nombres i ens dona la possibilitat de treballar la flexibilitat i el sentit numèric de manera comprensiva si volem fer multiplicacions de nombres més grans. Aquest model geomètric rectangular ens porta també a la connexió amb el concepte d’àrea i, més endavant, en el cas de 3 factors ens portarà al concepte de volum.

  1. INTRODUCCIÓ DEL MODEL AMB MATERIAL
    1. Policubs

                                                       8 x 7

L’alumne pot fer diferents descomposicions del mateix producte, adaptant-lo a les taules que coneix. Així, si conec les taules del 5, 3 i 2 que serien les primeres en aprendre, puc fer perfectament el producte: 8 x 7 ja que adaptaré la descomposició dels factors en nombres que per a mi siguin fàcils d’operar:  8 x 7 = 5 x 7 + 3 x 7 = 35 + 21= 56

 

O també: 

                                      5 x 5 + 3 x 5 + 5 x 2 + 3 x 2

Això dona peu a introduir la conversa matemàtica i la possibilitat de comprovar l’equivalència de les diferents expressions numèriques que surtin a l’aula.

La descomposició amb ajuda de les desenes facilita molt el càlcul:

Multiplication and Division Models and Strategies | Scholastic | Parents

Font: www.scholastic.com 

    1. Les regletes

Un altre material que podem utilitzar serien les regletes. Aquí podeu veure com les fan servir els alumnes de l’Escola Llor. Val la pena que els veieu!


              https://youtu.be/LrWqAaVNslY

                                           

    1. Els blocs multibase: 

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcQKJCMKtbyOaRASw9EFH5Mj7e4aqd-sBnylDA&usqp=CAU

El pas amb nombres de 2 dígits el podem treballar amb els blocs multibase per fer el pas amb l’ajuda dels blocs de 100 unitats i, per tant, amb descomposicions amb trossos de 10 que són més “amigables”:

Progressió del model d'àrea de multiplicació amb base de deu blocs 17 x 23

Font: https://tapintoteenminds.com 

 

2. PAS A LA REPRESENTACIÓ SIMBÒLICA

El pas següent al treball amb material manipulatiu seria el pas a la representació simbòlica més abstracta que permet un algoritme significatiu

Font: https://tapintoteenminds.com 

Un pas més enllà seria fer directament una representació més simbòlica de la matriu, sense la necessitat del suport material, deixant de banda les desenes o els blocs de 100 i les unitats, i adaptar-ho amb flexibilitat a aquells productes que en van més bé. 

Progressió dels models d'àrea de connexió de multiplicació a FOILFont: https://tapintoteenminds.com 9 x 12 serien: 

9 grups de 12   o 

9 grups de 10 + 5 grups de 2 + 4 grups de 8  o

9 grups de 10 + 9 grups de 2

    

Aquest model permet treballar amb molta més facilitat i flexibilitat que l’algoritme standard el càlcul mental.

De fet s’està utilitzant la propietat distributiva de la multiplicació sobre la suma per facilitar el càlcul amb nombres enters:

Per exemple, “7 x 52 és igual a 7 x 50 + 7 x 2. Això és més fàcil de calcular al cap perquè tinc 350 + 14 = 364. ”

En definitiva, el que la propietat distributiva ofereix als estudiants és una manera de “separar” els seus factors en nombres més amigables per facilitar la multiplicació.

Aquest model permet guiar als estudiants a desenvolupar el seu propi algoritme “conceptual” fent-los organitzar el producte en productes més petits. 

https://mcusercontent.com/09ea969affe5fb531e031be37/images/5424b926-5db8-4f58-827a-7d4314d3bd9a.jpgFont:https://www.mashupmath.com 

En aquest últim pas està basat la primera part de l’exercici del concurs en la fase 2: 

A l’apartat b), ja més complicat, hi ha un treball implícit de preàlgebra i de factorització (divisors) per a descobrir les incògnites on hauran d’aplicar les operacions inverses.

 

3. MÉS APLICACIONS DEL MODEL D’ÀREA

Model d’àrea amb nombres decimals

Considerem com podem trencar o descompondre un factor per a que sigui comprensiu. Mireu l’exemple: 

3,5 x 15

Podríem llegir aquest problema com tres grups i mig de quinze.

Això em porta a considerar tres grups de 15 (45) i mig grup de 15 (que és 7,5). Per tant, tres grups i mig de 15 tenen un producte de 52,5.

Podríem modelar aquest pensament com:

https://i1.wp.com/howweteach.com/wp-content/uploads/2019/01/null-18.png?resize=588%2C106&ssl=1

Tres i mig d’alguna cosa se sent aclaparador, però pensar en triplicar alguna cosa i prendre la meitat d’aquesta cosa … se sent molt més accessible.

4. PROFUNDITZANT MÉS EN LA REPRESENTACIÓ VISUAL: PAS A L’ESO

En aquest cas la representació geomètrica serveix per entendre les regles del llenguatge algebraic que és tan abstracte per alguns alumnes.

El model de representació basat en àrees ens serveix per a la comprensió geomètrica de la multiplicació de binomis a Secundària: 

 

Font: https://twitter.com/MrsHadden_STEM/status/1264668697454657537?s=20 

Que també es pot fer amb material manipulatiu: cartolines o regletes

 

Cartolines: 

Podeu trobar com fer el material a  http://factorizaciontrinomios.blogspot.com/ 

Consta de tres tipus de fitxes:

 

    Ficha 1:   Representa un quadrat de costat 1, llavors la seva àrea és = 1 x 1 = 1

   Ficha 2:   Representa un rectangle de costats 1 i x, llavors la seva àrea és 1* x = x

   Ficha 3:   Representa un cuadrado de lado x, llavors la seva àrea és = x . x = x2

 

Regletes:

o virtual (trobareu recursos interactius al final de l’entrada): 

Regletes https://ca.mathigon.org/polypad#number-bars 

 

o Rajoles d’àlgebra 

 

O blocs multibase virtuals o materials

Imagen

Ampliació d’expressions quadràtiques mitjançant FOIL

 

Aquests materials també ens poden ajudar a la resolució d’equacions de 2n grau utilitzant la tècnica de “completar quadrats” tal com feien els matemàtics àrabs, com expliquen (C.Calvo i altres, 2016) en el seu llibre (veure bibliografia):

 

Lo que sucede cuando presentamos la información de varias maneras es simplemente que incrementamos la probabilidad que más alumnos comprendan lo que están aprendiendo, simplemente porque tienen más oportunidades de hacerlo, esto es, más “pistas” para atar cabos…

De hecho, cuantas más modalidades usemos, cuanto más ejemplos demos, cuantas más referencias sensoriales (del tipo que sea) utilicemos, más potenciaremos el aprendizaje (de todos los alumnos), porque más vínculos podrán hacer con sus conocimientos previos (Riener 2010).

@hruizmartin

Solucions al problema

 

 

Respostes d’alumnes  

 

En general, la majoria dels alumnes no han arribat a trobar la solució de l’apartat b. Això segurament per la dificultat de fer un raonament prealgebraic i a la inversa, que pensem no estan gaire acostumats. També pensem que no estaven acostumats a aquest model de representació visual. Tot suma.

Més d’un alumne falla en associar l’àrea a la solució dels símbol que en realitat són costats (facebook):

 

Una resposta ben ordenada:

 

A l’apartat b), la majoria dels alumnes arriba a la solució del rectangle petit:

Encara que aquest alumne, falla en associar el producte de 7×8= 54 amb la solució de 27 i després fa productes buscant la mateixa solució en el rectangle gran.

I no saben com solucionar tot l’exercici. No és fàcil anar cap enrere per saber quins seran els possibles factors que formen el 897 i potser també s’aturen perquè hi ha més d’una solució i el problema no acaba de deixar clar que pot haver-hi més d’una opció.

 

Aquest seria un dels dos alumnes de 40 que ho va raonar bé:

 

 

Recursos interactius

  • https://apps.mathlearningcenter.org/partial-product-finder/ Aquesta app és genial. Pot graduar-se la dificultat (treballa el producte de 2 factors no superiors a 50). Pot servir per fer treball entre iguals, primer fent una conjectura del possible resultat amb càlcul mental per, després, veure com ho ha calculat cadascú amb l’ajuda de l’app.

 

I adonar-se de que ambdues expressions són equivalents i que es poden fer les variacions que vulguin:

  • La app/web de Mathigon https://ca.mathigon.org/polypad#algebra-tiles és un tresor de laboratori virtual plena de aplicacions per poder interactuar amb polígons, regletes, línia numèrica, barres de fraccions,..  A més es va actualitzant sovint i cada vegada que l’obres trobes més materials per poder treballar on line. 

  • Modelo de Áreas: Multiplicación de PHET Interactive simulations. És una pàgina que val la pena que visiteu. Aquesta simulació en concret té diferents nivells: des de primària fins a l’ESO i permet el treball en parelles i diferents formats de dificultat dintre de cada nivell.

 

BIBLIOGRAFIA i WEBS

 

. Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria. (C.Calvo i altres). Ed. Síntesis, S.A.

. The area model for multiplication.(By Harold Reiter, posted January 17, 2017). NTCM     https://www.nctm.org/Publications/Mathematics-Teacher/Blog/The-Area-Model-for-Multiplication/ 

. https://www.mashupmath.com 

. https://tapintoteenminds.com/progression-of-multiplication/

. https://howweteach.com/building-multiplication-strategies-in-secondary-mathematics-chunking-decomposing-a-factor/

. Vídeo de Innovamat en español: Multiplicación por áreas https://www.youtube.com/watch?v=vz1cQQh3SnI&feature=youtu.be 

 

 

One comment

  1. I really to find more on this subject I have sbuscribe to check. Also, splendid article. I want to read more of the columns on this wonderful website. more power and goodluck

Leave a Reply

L'adreça electrònica no es publicarà.