Encreuaments I

De quantes maneres diferents podem aconseguir un nombre determinat d’encreuaments? 

SITUACIÓ: Amb els pals simulem els encreuaments de carrers d’una ciutat.

MATERIAL: Pals de fusta d’un metre de llargada.

REPTE: Quin nombre fins al 30 té més possibilitats diferents d’encreuaments?

PER COMENÇAR:

Expliquem que cada pal representa un carrer i que un encreuament és el lloc on es creuen dos pals.

Reproduïm amb el material diferents possibilitats.

PREGUNTES:

a) Per no comptar els encreuaments  d’un en un, quina operació matemàtica podem utilitzar?

b) Què passa si amb un mateix nombre encreuaments, intercanviem el pals horitzontals pels verticals?

c) Feu totes les representacions possibles de 6,  8 i 10 encreuaments

d) Trobem algun nombre d’encreuaments que només tingui una representació? Quines característiques tenen en comú tots aquests nombres?

e) Tots els nombres primers són senars?

f) Quin és el primer nombre senar que no és primer? Quants divisors té?

g) Quin nombre fins al 30 tindrà més divisors?

h) Com més gran és un nombre té més divisors?

 

 

Expliquem en gran grup el context (carrers i encreuaments en una ciutat) de l’activitat, dient què representen els encreuaments i els carrers.

Reunim als alumnes en grups petits i repartim el material per a que puguin fer la investigació. Aquest material poden ser pals d’aproximadament 1 m de llarg o material similar. 


També que estaria bé que cada equip pogués disposar de molts pals per poder visualitzar a la vegada les diferents maneres de representar un mateix nombre d’encreuaments que es formen quan hi ha més d’una possibilitat i poder comparar-les o poder fer la representació d’un nombre molt gran d’encreuaments. 

Fem la representació d’un exemple i comptem encreuaments per poder començar i entendre el que es demana.

Cada grup farà el registre de les possibilitats que té cada nombre d’encreuaments de la manera que li vagi millor trobant els divisors de cada nombre. És important compartir de quina manera ha fet cada grup el registre, sobretot aquells que han estat més sistemàtics,  perquè ajudarà als grups que no hagin seguit una sistematizació en la cerca de divisors. 

Idees Centrals : Pensament multiplicatiu. Representació geomètrica del producte. Divisors d’un nombre. Nombre primer.

Etiquetes: Representació geomètrica del producte. Investigació.

Sentits: Numèric. Geomètric.

Dimensions: Resolució de problemes. Raonament i prova. Comunicació i representació. Connexions.

Nivell: Cicle superior de primària.

Per què hem seleccionat aquest problema?

És una situació contextualitzada d’investigació matemàtica que treballa a partir de material manipulatiu, ens serveix per introduir el concepte de divisor d’un nombre i el de nombre primer.

Al tractar-se d’una situació presentada en forma de repte, els i les alumnes treballen en un ambient de RESOLUCIÓ DE PROBLEMES traduint el problema fent-ne la REPRESENTACIÓ matemàtica personal, aplicant diferents tècniques, estratègies i formes de raonament, per explorar i compartir diferents maneres de procedir, obtenir solucions i assegurar la seva validesa des d’un punt de vista formal i en relació amb el context plantejat i generar noves preguntes i reptes.

Els permet establir CONNEXIONS entre diferents sabers de l’àrea de matemàtiques, els construeixen a partir dels que ja saben (distribució rectangular pel pensament multiplicatiu, propietat commutativa) per anar descobrint-ne de nous (divisors d’un nombre, nombres primers).

Com que és una investigació, requerirà d’algun mètode de registre de les dades obtingudes en anar fent els diferents casos, per tant, d’alguna REPRESENTACIÓ que reflecteixi un treball sistemàtic necessari per a qualsevol investigació.

Es dóna molta importància a la COMUNICACIÓ a través de la conversa matemàtica a partir de les bones preguntes fetes pels docents i les aportacions que lliurament fa l’alumnat. Els i les alumnes fan conjectures i verifiquen la seva validesa o no.

Preguntes clau

a) Per no comptar els encreuaments d’un en un, quina operació matemàtica podem utilitzar?

b) Què passa si amb un mateix nombre encreuaments, intercanviem el pals horitzontals pels verticals?
ACLARIMENTS: cal connectar aquesta idea amb la propietat commutativa de la multiplicació i relacionar-ho amb les taules de multiplicar i veure que com és el mateix 3 x 2 que 2 x 3 i donat que estem amb alumnes de cicle superior considerarem que és la mateixa representació.

c) Feu totes les representacions possibles de 6, 8 i 10 encreuaments.
ACLARIMENTS: Anomenem el nombre de pals que fem servir en cada direcció, divisors d’un nombre.

d) Trobem algun nombre d’encreuaments que només tingui una representació? Quines característiques tenen en comú tots aquests nombres?

ACLARIMENTS: Relacionem els nombres que només tenen una representació (2 divisors) amb els nombres primers.

e) Tots els nombres primers són senars?

f) Quin és el primer nombre senar que no és primer? Quants divisors té?

g) Quin nombre fins al 30 tindrà més divisors?

h) Com més gran és un nombre té més divisors?

Recursos

Material per poder experimentar: pals, llibreta per recollir evidències

Treball en petit i en gran grup.

Si feu el problema i voleu compartir les vostres respostes en forma de representacions, fotografies i vídeos de les resolucions dels infants, podeu fer un arxiu (word o pdf) i enviar-ho a cercleabeam@gmail.com
Poseu el vostre nom, mail, escola i nivell, amb un breu resum del context dels vostres alumnes i centre, i de l’activitat que heu realitzat.

Moltes gràcies per la vostra participació!

Les mostres d’alumnes corresponen al nivell de 5è de primària de la nostra escola Guillem Fortuny que és una escola pública de Cambrils

Encantats d’haver-ho implementat a l’aula!

Mostrem algunes representacions dels i les alumnes en les que van registrant quants encreuaments poden comptar sense fer-ho d’un en un. 

Representació 1: 

El dibuix ens mostra com l’alumne troba diferents representacions per a un mateix nombre d’encreuaments.

Representació 2: 

Quan preguntem què passa quan intercanviem els pals hortizontals pels verticals surten aquestes altres representacions i es recorda la propietat commutativa de la multiplicació.


Anomenem al nombre de pals col·locats en cada direcció “divisor” d’un nombre, així alguns divisors del 12 són: el 3, el 4, el 6 i el 2. També es demana que intentin cercar-los tots.

Representació 3: 

Alguns alumnes s’adonem que hi ha nombres d’encreuaments que només tenen dues representacions, és el moment en el que recordem que vam prendre l’acord que era la mateixa representació 1×3 que 3×1 degut a la propietat commutativa de la multiplicació.

Així doncs considerem que aquests nombres només tenen una representació. S’enceta la conversa sobre quins són aquests nombres i quines característiques tenen, relacionant-ho amb els nombres primers.

És continua la convesa matemàtica fent preguntes:

  • Tots els nombres primers són senars? Un cop han descobert que no. perquè el 2 és també un nombre parell es planteja aquesta altra:
  • Quin és el primer nombre senar que no és primer? Quins divisors té?

Representacions 4: 

A) 

B)

Continuem la investigació proposant que cerquin quin és el nombre comprès entre l’1 i el 30 que tindrà més divisors.

Els alumnes cerquen aquest nombre pensant en un principì que ha de ser el nombre més gran i alguns grups ràpidament comencen a buscar els divisors del 30 perquè és l’últim nombre, altres grups busquen els divisors d’alguns nombres aleatòriament “grans” i un grup decideix buscar tots els divisors de tots els nombres fent una pràctica productiva de cerca de divisors.

Al posar l’activitat en comú ens adonem que tant el 30 com el 24 tenen tots dos 8 divisors.

També s’expressen idees interessants:

  • Com més gran sigui el nombre més divisors tindrà, aquí algun/a alumne/a contesta que no té perquè ser així perquè per exemple el 31 només té dos divisors i en canvi el 30 que és més petit en té 8.
  • També sorgeix la idea que si hem de pensar en un nombre que tinguin molts divisors ens vindran al cap ràpidament els nombres parells, ja que segur el 2 serà un dels seus divisors. Això pot ser un punt de partida per començar a parlar dels criteris de divisibilitat en una altra sessió, podem fer pensar també com han de ser aquests nombres parells per a què tinguin encara més divisors.