Encreuaments II

Quants encreuaments podem aconseguir si anem augmentant el nº de pals horitzontals o verticals?

SITUACIÓ:

En aquesta situació encreuarem bastons paral·lels i recomptarem els encreuaments.

Material:  Pals plans o geotires. 

Per començar:

Reproduiu amb el material les dues situacions de la imatge. Compteu el número d’encreuaments. Registreu el resultat del que heu obtingut. 

Preguntes:

a). Què passarà si anem augmentant en un pal cada vegada? Feu una petita investigació. Començarem pel cas de 2 pals encreuats i anirem afegint pals en horitzontal o vertical però sempre paral.lels entre ells.

Aneu registrant cada vegada la posició dels pals (amb un dibuix, símbols, ..) i els resultats de manera que quedi ordenat. 

b) Una vegada arribeu a 6 palets encreuats i registrat les solucions. Què observeu? 

c) Observant els casos en que hi ha més d’un resultat pel mateix nombre de pals, podeu respondre a aquestes qüestions?: 

    • Com augmenten o minven el número d’encreuaments?
    • Amb qualsevol nombre passa el mateix? Per què?

d) Si tens, per exemple, 12 palets, quina col.locació et donarà el major número d’encreuaments? I el mínim? Intenteu respondre abans de posar totes les possibilitats. Com comproveu la vostra conjectura?

e) Quin patró podem deduir a partir de totes les observacions i proves?

f) I quina relació es pot establir entre el tipus de figura que es forma i el resultat?

ENLLAÇ PPT DE L’ENUNCIAT: Encreuaments Cyntia .pptx 

ENLLAÇ FITXA DELS ALUMNES: Quants encreuaments podem aconseguir?

 

Teniu a l’apartat de l’enunciat un enllaç a un ppt per poder treballar el problema i els diferents apartats amb els alumnes i/o un enllaç a la fitxa pels alumnes. 

Reunim als alumnes en grups petits o per parelles i repartim el material per a que puguin fer la investigació. Aquest material poden ser geostrips, pals llargs (si són curts no permet fer molts creuaments) o material similar. És important que siguin plans per a que no rodolin.


També que estaria bé que cada equip pogués disposar de molts pals per poder visualitzar a la vegada les diferents formes i figures que es formen quan hi ha més d’una possibilitat i poder comparar-les. La comparació directa pot ajudar al raonament d’algunes de les preguntes que es fan.

Abans de començar el repte, i mirant la primera imatge de la presentació repassem conceptes de paral.lel i secant (perpendiculars o no) per poder treballar amb el vocabulari clarificat:


Entre tots fem la representació de l’exemple i comptem encreuaments per poder començar i entendre el que es demana.


Una vegada els alumnes hagin fet el seu propi registre personal, feu una taula de dades entre tots que els ajudi a ordenar totes les dades recollides i poder fer connexions numèriques per establir conjectures.   

 

Si els vostres alumnes ja han fet un registre sistemàtic en taules, potser ja se’ls acut a ells sols. Si no, penseu que l’organització de les dades en una taula no és un registre natural i que se’ls ha d’ensenyar. Per tant, aquesta seria una oportunitat per anar-la omplint i veient les connexions que surten entre tots.

Idees Centrals: Pensament multiplicatiu. Representació geomètrica del producte. Patró.

Etiquetes: Patrons. Representació geomètrica del producte. Investigació.

Sentits: Numèric, geomètric i algebraic.

Dimensions: Resolució de problemes. Raonament i prova. Comunicació i representació. Connexions.

Nivell: Des de 4rt a 6è de primària.

Per què hem seleccionat aquest problema?

És una situació d’investigació matemàtica que treballa a partir de material manipulatiu, que els alumnes intentin generalitzar i obtenir un patró que els ajudi a predir què passarà en els diferents casos en afegir més pals. BLOC DE CANVIS I RELACIÓ

Alhora treballa les interseccions i les figures que formen intentant que els alumnes facin  CONNEXIONS ENTRE ESPAI I FORMA i NÚMEROS, en concret, amb la representació geomètrica del producte i relacionin la forma quadrada com la més “eficient” ja que és la que comptabilitzarà major número d’interseccions amb el mateix número de palets. 

També, facilita connexió de les diferents opcions de les figures amb les descomposicions additives del cada número.

Com que és una investigació, requerirà d’algun mètode de registre de les dades obtingudes en anar fent els diferents casos, per tant, d’alguna representació que reflecteixi un treball sistemàtic necessari per a qualsevol investigació. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.

A partir d’aquestes dades numèriques (ideal el registre en format de taula), podran fer connexions i veure si hi ha regularitats i, per tant, un patró. REPRESENTACIÓ I CONNEXIONS. 

Preguntes clau

En fer la resolució del problema a la cerca del patró, un s’adona que hi ha situacions on amb el mateix nombre de pals es poden fer diferents combinacions. Per exemple, amb 6 pals: 1V-5H/ 2V-4H/ 3V-3H  i viceversa.. per tant, necessitem fer un treball més exhaustiu: 

Hem trobat algunes solucions, però..

  • En podeu trobar-les totes?
  • Com ho podem fer per trobar-les i no deixar-nos cap?

I en expressar en una taula tots els resultats obtinguts, ens adonem que el que al començament (fins a 4 pals) semblava un patró clar (que augmentant el nº de pals en un, augmenta també en un el nº d’encreuaments), ara ja no ho és tant ja que s’obren diverses possibilitats.

nº de pals nº encreuaments
2 1
3 2
4 3
4 4
5 4
5 6
6 5
6 8
6 9
7 6
7 10
7 12

Per tant, cal obrir més la mirada i observar altres variables com la disposició dels pals (horitzontals i verticals):

nº de pals situació dels pals nº encreuaments
6 1 V – 5H 5
6 2V – 4H 8
6 3 V – 3 H 9
  • Observant els casos en que hi ha més d’un resultat pel mateix nombre de pals, podeu respondre a aquestes qüestions?
    • Com augmenten o minven els encreuaments?
    • Amb qualsevol nombre passa el mateix? Per què?
  • Si tens, per exemple, 12 palets, quina col.locació et donarà el major número d’encreuaments? I el mínim? Intenteu respondre abans de posar totes les possibilitats. Com ho comproveu?
  • Quin patró podem deduir a partir de totes les observacions i proves?
  • I quina relació es pot establir entre el tipus de figura que es forma i el resultat? 

En aquest moment els alumnes s’adonen de que el nº d’encreuaments és el resultat del producte dels pals V i els pals H que formen una graella en forma de rectangles o quadrats. 

L’objectiu és que descobreixin la relació entre l’estructura multiplicativa i la forma geomètrica que formen. I a més que la manera més eficient (major número d’encreuaments pel mateix nº de pals) el tindrà la figura quadrada i com alguns veuen (mireu la fotografia), coincideix en fer la meitat del número: la meitat de 6 és 3, per tant, 3 V i 3H  donen 9 encreuaments i forma quadrada. 

I també poder observar que, com diu algun dels alumnes:  “les formes amb un sol pal horitzontal surten més allargades”.

Possible extensió

  • En Joan i la Mireia han resolt el repte la setmana passada. En Joan ha estat rumiant sobre el problema i el patró i li ha proposat a la Mireia el següent repte: “Sense utilitzar la calculadora ni fer cap càlcul escrit, sabries dir si el resultat de 17×17 és més gran o més petit que 13×21?”

     Depenent del nivell de la classe es pot fer la pregunta amb nombres més petits.         Per exemple: Per què el 6×6 té un resultat major que el 7×5 o que el 10×2?”

  • Una altra possible extensió passa per introduir la multiplicació maia o japonesa que es basa en la mateixa representació i comptatge dels nusos d’encreuament a partir d’aquesta pregunta:
    • Observeu la imatge de la figura 1 o de les imatges 2, 3 i 4 que mostra el procés):    
Figura 1: exemple de multiplicació japonesa o maia

Quina relació veus entre aquest sistema de multiplicació i l’activitat que heu resolt abans?

Fig 2

Fig 3

Fig 4

Fig 2, 3 i 4: procés de multiplicació japonesa o maia

Recursos

Material per poder experimentar: pals, geostrips, …

Treball en petit i en gran grup.

Conversa matemàtica entorn a les propostes per acordar-ne conclusions.

Si feu el problema i voleu compartir les vostres respostes en forma de representacions, fotografies i vídeos de les resolucions dels infants, podeu fer un arxiu (word o pdf) i enviar-ho a cercleabeam@gmail.com
Poseu el vostre nom, mail, escola i nivell, amb un breu resum del context dels vostres alumnes i centre, i de l’activitat que heu realitzat.

Moltes gràcies per la vostra participació!

Les mostres d’alumnes següents corresponen al nivell de 5è de primària a l’ESCOLA DURAN I BAS que és una escola pública al barri de les Corts de Barcelona.

Exposarem algunes mostres de les representacions que han fet els alumnes per veure la diversitat de raonaments que exposen. La gradació s’ha fet en funció del nivell d’abstracció i raonament.

Representació 1: 

El dibuix ens mostra que l’alumne no veu més que una possibilitat per a cada número de palets. De fet no es planteja més opcions, tot i que els seus companys n’havien fet i mostrat. No explora cap solució més. Posa l’exemple i compta encreuaments.

Quant a la representació: es fixa en els detalls del material (fa els forats un a un). No fa cap abstracció simbòlica tot i que al final ho intenta (potser quan copia de la pissarra en fer-ho els companys). La professora ens confirma que és un nen amb un pensament concret.

En quant al raonament i prova no fa cap conjectura respecte al patró.

Representació 2: 

En aquesta representació l’alumne ja fa una abstracció simbòlica dels pals.

Observem que ja veu totes les possibilitats. És sistemàtic ja en cada situació posa les opcions que hi ha i el resultat.

Encara no fa cap conjectura sobre el patró o al menys no l’escriu. 

Representació 3: 

Aquest alumne fa un pas més, guiat per la professora, en reflectir la verticalitat i horitzontalitat dels pals (V i H) que li ajuda a establir una conjectura ja que s’adona que la representació quadrada és la que més encreuaments té, i que sempre serà així en tots els casos quan els números s’aproximin a la meitat. Ho connecta més amb els números que amb la forma. Aquest tipus de conjectures les fan força alumnes.

També connecta amb la descomposició ordenada dels números: en tenir 8 palets surten totes aquestes possibilitats diferents 8→ 7-1  5-3  4-4   6-2 

Representació 4: 

El cas d’aquest alumne és un cas d’excel.lència. Va més enllà del nivell habitual i s’adona d’un patró que ni nosaltres havíem copsat: que el número de possibilitats augmenta en un cada vegada que passem a un nº parell. La seva explicació oral va ser molt més rica. 

Representació 5: 

Aquesta representació és el cas especial d’un nen amb disgrafia i dislexia que normalment perd l’atenció quan fan qualsevol activitat a l’aula (imaginem que per cansament). La tutora es va quedar agradablement sorpresa pel seu interès i pel fet que va estar centrat tota l’estona que van estar treballant en el repte.

No arriba a fer totes les possibilitats però donat el cas, creiem que per a  l’alumne és realment satisfactori.