Encreuaments II- recursos del docent

Idees Centrals: Pensament multiplicatiu. Representació geomètrica del producte. Patró.

Etiquetes: Patrons. Representació geomètrica del producte. Investigació.

Sentits: Numèric, geomètric i algebraic.

Dimensions: Resolució de problemes. Raonament i prova. Comunicació i representació. Connexions.

Nivell: Des de 4rt a 6è de primària.

Per què hem seleccionat aquest problema?

És una situació d’investigació matemàtica que treballa a partir de material manipulatiu, que els alumnes intentin generalitzar i obtenir un patró que els ajudi a predir què passarà en els diferents casos en afegir més pals. BLOC DE CANVIS I RELACIÓ

Alhora treballa les interseccions i les figures que formen intentant que els alumnes facin  CONNEXIONS ENTRE ESPAI I FORMA i NÚMEROS, en concret, amb la representació geomètrica del producte i relacionin la forma quadrada com la més “eficient” ja que és la que comptabilitzarà major número d’interseccions amb el mateix número de palets. 

També, facilita connexió de les diferents opcions de les figures amb les descomposicions additives del cada número.

Com que és una investigació, requerirà d’algun mètode de registre de les dades obtingudes en anar fent els diferents casos, per tant, d’alguna representació que reflecteixi un treball sistemàtic necessari per a qualsevol investigació. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.

A partir d’aquestes dades numèriques (ideal el registre en format de taula), podran fer connexions i veure si hi ha regularitats i, per tant, un patró. REPRESENTACIÓ I CONNEXIONS. 

Preguntes clau

En fer la resolució del problema a la cerca del patró, un s’adona que hi ha situacions on amb el mateix nombre de pals es poden fer diferents combinacions. Per exemple, amb 6 pals: 1V-5H/ 2V-4H/ 3V-3H  i viceversa.. per tant, necessitem fer un treball més exhaustiu: 

Hem trobat algunes solucions, però..

  • En podeu trobar-les totes?
  • Com ho podem fer per trobar-les i no deixar-nos cap?

I en expressar en una taula tots els resultats obtinguts, ens adonem que el que al començament (fins a 4 pals) semblava un patró clar (que augmentant el nº de pals en un, augmenta també en un el nº d’encreuaments), ara ja no ho és tant ja que s’obren diverses possibilitats.

nº de pals nº encreuaments
2 1
3 2
4 3
4 4
5 4
5 6
6 5
6 8
6 9
7 6
7 10
7 12

Per tant, cal obrir més la mirada i observar altres variables com la disposició dels pals (horitzontals i verticals):

nº de pals situació dels pals nº encreuaments
6 1 V – 5H 5
6 2V – 4H 8
6 3 V – 3 H 9
  • Observant els casos en que hi ha més d’un resultat pel mateix nombre de pals, podeu respondre a aquestes qüestions?
    • Com augmenten o minven els encreuaments?
    • Amb qualsevol nombre passa el mateix? Per què?
  • Si tens, per exemple, 12 palets, quina col.locació et donarà el major número d’encreuaments? I el mínim? Intenteu respondre abans de posar totes les possibilitats. Com ho comproveu?
  • Quin patró podem deduir a partir de totes les observacions i proves?
  • I quina relació es pot establir entre el tipus de figura que es forma i el resultat? 

En aquest moment els alumnes s’adonen de que el nº d’encreuaments és el resultat del producte dels pals V i els pals H que formen una graella en forma de rectangles o quadrats. 

L’objectiu és que descobreixin la relació entre l’estructura multiplicativa i la forma geomètrica que formen. I a més que la manera més eficient (major número d’encreuaments pel mateix nº de pals) el tindrà la figura quadrada i com alguns veuen (mireu la fotografia), coincideix en fer la meitat del número: la meitat de 6 és 3, per tant, 3 V i 3H  donen 9 encreuaments i forma quadrada. 

I també poder observar que, com diu algun dels alumnes:  “les formes amb un sol pal horitzontal surten més allargades”.

Possible extensió

  • En Joan i la Mireia han resolt el repte la setmana passada. En Joan ha estat rumiant sobre el problema i el patró i li ha proposat a la Mireia el següent repte: “Sense utilitzar la calculadora ni fer cap càlcul escrit, sabries dir si el resultat de 17×17 és més gran o més petit que 13×21?”

     Depenent del nivell de la classe es pot fer la pregunta amb nombres més petits.         Per exemple: Per què el 6×6 té un resultat major que el 7×5 o que el 10×2?”

  • Una altra possible extensió passa per introduir la multiplicació maia o japonesa que es basa en la mateixa representació i comptatge dels nusos d’encreuament a partir d’aquesta pregunta:
    • Observeu la imatge de la figura 1 o de les imatges 2, 3 i 4 que mostra el procés):    
Figura 1: exemple de multiplicació japonesa o maia

Quina relació veus entre aquest sistema de multiplicació i l’activitat que heu resolt abans?

Fig 2

Fig 3

Fig 4

Fig 2, 3 i 4: procés de multiplicació japonesa o maia

Recursos

Material per poder experimentar: pals, geostrips, …

Treball en petit i en gran grup.

Conversa matemàtica entorn a les propostes per acordar-ne conclusions.