FM14-2n ESO
 |
| Alumnes de l’Escola Guinardó fent l’activitat |
Paraules clau
Patró de creixement; Recursivitat; Raonament geomètric, visual i numèric; Fractals; Floc de neu de Koch; Àrees; Fraccions; Potències; Decimals.
Nivell
2n i 3r ESO
Segur que més d’una vegada has jugat a creuar figures geomètriques entre elles per a fer dibuixos i entretenir-te. Un polígon molt fàcil d’usar per a fer això és el triangle equilàter, que combinat amb un altre d’invertit genera el que s’anomena una estrella de 6 puntes, tal com pots veure a la imatge sota aquestes línies.
Això també es pot interpretar que s’ha fet dividint cadascun dels costats en tres parts iguals i substituint la part central per dos segments iguals a aquesta, formant un triangle equilàter més petit sobre cadascun dels costats del triangle inicial, com es mostra a la figura 2.
Si tornem a fer el procés per a cada segment del polígon anterior obtindrem la imatge de la figura 3. I si aquest procés el fem 3 vegades arribem a la figura 4.
Això ho podem fer tants cops com vulguem.
Si el triangle inicial té un àrea de 9 cm2
1. Calcula l’àrea de la figura 2.
2. Troba l’àrea del polígon resultant després de fer el procés 2 vegades (figura 3).
3. Quina serà l’àrea si apliquem aquest procés tres cops? (figura 4)
4. Sabries aproximar-te al valor de l’àrea que resultaria si apliquéssim el procés moltíssimes vegades?
Introducció
Aquest problema treballa el patró de creixement d’una figura. El patró treballa l’estratègia recursiva o seqüencial: necessitem saber el valor de la figura anterior per saber la següent. També es pot anomenar iterativa o additiva. Alhora és una introducció al mon dels fractals a partir de la figura del Floc de neu de Kochque s’origina des del triangle equilàter creant figures autosemblants.
 |
| Floc de neu de Koch |
Per què hem seleccionat aquest problema?
 |
| Inversió de fractals vegetals (F.Manonelles) |
El problema permet relacionar molts conceptes i processos dels diferents blocs de continguts: àrees, decimals, fraccions, potències, relacions funcionals, patrons. El treball amb patrons desenvolupa l’agilitat, flexibilitat i connexió amb els nombres i el que representen així com les relacions entre ells. També ajuda a desenvolupar habilitats de raonament lògic i realització de conjectures. A més porta, d’una manera natural, a desenvolupar regles matemàtiques per descriure el patró, en aquest cas, de creixement d’una figura. Al començament d’una manera aritmètica fins a necessitar del llenguatge algebraic per generalitzar. Aquest patró és un bon exemple de creixement basat en la recursivitat tant visual-geomètrica com aritmètica.
Per una altra banda, és una aproximació molt senzilla al món dels fractals a partir de la figura del triangle equilàter que permet el dibuix i una ràpida comprensió del procés de creixement a partir de la reiteració de la figura inicial. També al sorprenent fet de trobar una figura de perímetre infinit i, alhora, d’àrea finita [R4: blog matemáticascercanas].
Tot plegat pot ser un bon motiu per obrir una altra via d’investigació i descobrir aquesta dimensió present al nostre entorn i que dóna meravelloses imatges i estructures de la naturalesa com el nostre sistema circulatori, el creixement de les branques d’un arbre, les línies de les costes i els sistemes muntanyosos.
Les respostes que hem escollit com a exemples són respostes de 40 informes dels presentats pels alumnes en la primera fase del FM14. Hem escollit els 13 seleccionats per a la segona fase i els altres a l’atzar entre la resta.
Bloc de continguts
Canvii relacions, numeració i càlcul, espai i forma.
Competències implicades( [1], p.8)
|
PROBLEMA
|
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA
|
|||||||||||
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
|
TRIANGLES I TRIANGLETS
|
||||||||||||
Competència 2: Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. ([1], p.14).
Competència 7: Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i raonar. ([1], p.33)
Fer dibuixos i esquemes; Descomposar el problema original en subproblemes essent cada un d’ells similar al de l’origen; Organitzar la informació; Fer taules; Cerca del patró.