PUZLE DE FRUITES. ESO

Etiquetes: àlgebra, equacions, llenguatge algebraic, treball significatiu
Bloc de continguts: Canvi i relacions. Nºs i operacions
Nivells: ESO

















Cada una de les fruites té un valor enter entre 1 i 15 (tots dos nombres inclosos). La suma dels valors de les fruites de cada una de les columnes i files són les que es mostren a la figura.
Quin serà el valor de cada fruita?
Justifica l’estratègia que segueixes i digues com arribes a tots els valors, de la manera més ordenada possible.

Per què hem seleccionat aquest problema?


Un dels blocs més treballats en els problemes del Fem Matemàtiques és el de canvi i relacions ja que dóna molt joc per treballar les dimensions de Representació i Raonament i prova.
Entenem l’àlgebra d’una manera amplia, sense limitar-nos a la resolució de problemes mitjançant la resolució d’equacions. Contemplant tots els continguts matemàtics implicats en aquest bloc: generalització i formalització; canvis de representació i resolució d’equacions; relacions i funcions; modelització. Alhora que les activitats que proposem intenten treballar l’àlgebra de manera significativa, de manera que els alumnes arribin a la utilització del llenguatge algebraic per la necessitat que tenen en generalitzar.
En aquest problema, és possible que els alumnes arribin a la resolució sense tenir una idea del llenguatge algebraic ni haver fet equacions. De fet seria un sistema d’equacions amb 4 incògnites, cosa que mai faríem a 1r de l’ESO, però treballant amb el llenguatge simbòlic de les fruites, establint relacions oportunes que poden extreure a partir de les afirmacions de files i columnes i traient profit al criteris de divisibilitat, en ser solucions enteres, hem convertit aquest tipus d’exercici en una activitat atractiva, reptadora i rica on abunden les equivalències, les deduccions, les relacions encadenades, propietats de múltiples, paritat i, sobretot, estem treballant amb un llenguatge simbòlic per esbrinar valors desconeguts.
Alhora en fer-ho d’aquesta manera, cal que treballin els processos de: treball sistemàtic, establiment de filtres per evitar la cerca exhaustiva de solucions, planificació dels passos del procés de manera ordenada i justificació dels mateixos.
També podeu fer servir la rúbrica competencial de l’activitat (veure enllaç més endavant) per poder avaluar als vostres alumnes i fer un feed-back del seu treball.
Per ajudar a l’avaluació us hem mostrat exemples reals d’alumnes i la nostra valoració. Recordeu que ens centrem en l’assoliment de les competències, per tant, ens fixem en els processos que nosaltres pensem que estan més implicats en aquesta activitat.
Aquest mateix treball es pot fer des d’edats primerenques realitzant dissenys més senzills. En l’enllaç adjunt trobareu la possibilitat de posar diferents problemes i reptes segons el nivell:
                        nrich Fruity totals https://nrich.maths.org/14167
Disposa d’un applet que us permet anar modificant el nivell amb la roda de la cantonada superior dreta i també dóna les solucions del puzzle escollit:

Bones preguntes que podeu fer per començar:

Quina és la fila o columna que et proporciona la informació més útil?
Pots combinar o comparar files i/o columnes?
Quin fruit és el més senzill per obtenir el valor primer?
Us animem a que poseu el repte als vostres alumnes! Us quedareu ben sorpresos dels seus raonaments i estratègies per arribar a la solució!

Solució (Una de les possibles maneres de trobar la solució)

Una de les riqueses d’aquest problema és que la solució pot venir a partir de diferents relacions o maneres de plantejar-ho. Per tant, aquí exposarem una d’elles, tenint en compte que si ho feu a l’aula podeu fer una posada en comú mostrant els diferents camins que poden haver sortit entre els alumnes.
Dels diferents possibles plantejaments que es poden realitzar per resoldre aquest repte, aquí indiquem el que comença per veure primer la columna o fila que més informació ens pot donar. Per exemple, la de la primera columna:
3 · valor plàtans + 1 valor poma = 39.
Perquè es compleixi la igualtat, el valor de la poma ha de ser un múltiple de 3 per a què restant-li a 39 em doni un múltiple de 3 (ja que són 3 plàtans).
Les diferents possibilitats que se’ns plantegen serien les següents:                              
Valor pomes
Valor plàtans
15
8
12
9
9
10
6
12
3
15
Si ens fixem en l’última columna: 3 valor prunes + 1 valor poma = 33 passa el mateix, i les possibilitats serien:
Valor pomes
Valor prunes
15
6
12
7
9
8
6
9
3
10
 Podem restar les columnes que donen 32 i 31 i llavors tindrem una diferència d’1.
   Poma + cireres + poma + pruna = 32
   Poma + plàtan + plàtan + cireres = 31
______________________________________
   Poma +  pruna  –  2 plàtans    =   1
O una expressió equivalent: (poma + pruna) – 1 = 2 plàtans.
El que implica que la suma dels valors d’una poma i d’una pruna dóna un nombre imparell perquè així restant 1 es compleixi obtenir un nombre parell ( 2 plàtans)
Valor poma
Valor pruna
Valor poma + pruna
Valor plàtan
15
6
21
10
12
7
19
9
9
8
17
8
6
9
15
7
3
10
13
6
I comparant amb la primera taula:
Valor poma
Valor Plàtan
15
8
12
9
9
10
6
12
3
15
Només coincideix amb el mateix nombre de pomes i plàtans, la parella 12 pomes, 9 plàtans.
Per tant, el valor de la poma és 12, 9 el dels plàtans i 7 de les prunes.
Finalment, si agafem la fila que diu que la suma de totes les fruites és 29  i com sabem que 12 + 9 + 7 = 28, podem concloure que les cireres valdran 1.

Competències més implicades

Competència 2. Resolució de problemes. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
Competència 5. Raonament i prova.  Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.


I per aquells que volen el més difícil encara…

 

Rúbrica d’avaluació competencial


Criteri d’avaluació
Nivell  no assolit
Nivell assoliment
Estàndard
Nivell assoliment
Alt
Nivell assoliment
Molt Alt
Competència 2. Resolució de problemes. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes, mantenint el control del procés, justificant-lo i comprovant la correcció i raonabilitat de la solució.
Gradació en funció de la complexitat d’eines i estratègies emprades i de la raonabilitat de la solució.
No hi ha cap procés de sistematització de la feina.
Elabora exploracions i temptejos de la situació que li permeten treure alguna conclusió.
No hi ha una estratègia clara ni implícita ni explícita per treballar sistemàticament.
Troba alguna de les respostes però no acaba d’arribar a trobar-les totes.
Explora el problema de manera sistemàtica fins trobar solucions i expressar-les amb claredat.
Fa explícitament alguna prova de les solucions contrastant-les amb afirmacions anteriors.
Estableix des de l’inici una estratègia matemàtica explícita que li permet mantenir el control del procés, reajustant-lo si cal, justificant-lo i comprovant la correcció i raonabilitat de les solucions parcials i finals.
Competència 5. Raonament i prova.  Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
A la cerca de la solució estan lligats processos de:  cerca de relacions, conjecturar i provar, establiment de filtres previs basats en divisibilitat, paritat,.. per fer una cerca raonada i no tan exhaustiva. Per comunicar la solució cal justificar l’estratègia que permet donar resposta a les preguntes i expressar-la correctament.
Gradació atenent el grau de complexitat i abstracció de les argumentacions.
No justifica ni argumenta les afirmacions matemàtiques que realitza.
Dóna respostes concretes i breus. No escriu explicacions, però justifica els resultats explicitant els càlculs realitzats.
Fa afirmacions matemàtiques utilitzant exemples per a una millor comprensió.
Usa comprovacions diverses: numèriques, gràfiques i estratègies de tempteig no gaire raonades.
Opera i calcula. No s’acaba de adonar de les relacions matemàtiques.
Raona usant el context, les dades obtingudes i estableix algunes connexions. Justifica els passos que segueix.
Reconeix que fa servir alguna connexió entre les afirmacions que li proporciona l’enunciat simbòlic per establir algun filtre previ en la cerca de les possibles solucions.
Explicita i argumenta els passos del seu raonament que permeten donar resposta a les preguntes. Relaciona el procés amb els càlculs realitzats.
Construeix argumentacions matemàtiques i les expressa amb precisió.
Estableix filtres raonats i previs basats en propietats dels nombres i que permeten fer una cerca raonada i deduir les solucions.








































Mostres de solucions d’alumnes


Tal com hem dit abans, aquest seria un sistema d’equacions que no gosaríem de posar a 1r o 2n d’ESO, però que permet el raonament per anar destriant i obtenint tots els valors de les variables. Amb els següent exemples us volem mostrar com són capaços de fer connexions i raonaments lògics i algebraics que els porten a trobar les respostes correctes però, sobretot, ben explicades i argumentades.
En definitiva, el que volem tots els professors, un bon treball de les competències matemàtiques!
Alumne 1

”Fijándonos en la columna 1 y 2, encontramos que lo único que varía es un plátano y una ciruela, de manera que, fijándonos en los resultados, sabemos que el plátano vale 8 más que la ciruela. Eso nos deja las posibilidades:  (tabla de valores) . El resto de posibilidades no suman. Probando estas 4 posibilidades en la primera columna, establecemos que la manzana nada ma´s tiene 4 números posibles”

 







Aquest alumne ha establert un primer filtre en comparar les columnes 1 i 2. Llavors això li deixa fer una taula condicionada a que el plàtan val 8 monedes més la pruna. I fa una taula amb els valors possibles.
I a continuació, va establint els possibles valors de les altres fruites:

Fins que arriba a 4 sèries que poden ser possibles i que, comparant amb la 3a columna, veu que només una d’elles és viable.
Aquest alumne 1 mostra un nivell molt alt en la seva capacitat d’explicar i justificar el procediment matemàtic que realitza, raona usant el context i fa bones connexions que li permeten establir bons filtres per acotar la cerca exhaustiva de les solucions (competència 5) i, respecte a la competència 2, té molt clar i fa controls de tots els passos del procés i comprova la correcció i raonabilitat de les solucions parcials i finals, per tant, està en un nivell molt alt d’assoliment.
Alumne 2:
L’alumne 2 treballa en un llenguatge simbòlic pràcticament algebraic. Juga amb les equivalències per deixar cada cop una sola condició però les justificacions no són del tot ben raonades. No es veu un procés massa eficaç ja que passa un per un per tots els nombres per veure si compleixen la condició…. i no es visualitzen ben les proves. Estaria en un nivell alt (però en la forquilla baixa) d’ambdues competències.
Alumne 3:

 

“Primero he hecho pruebas sin poder
encontrar un sentido, però luego me he dado cta que puedo descartar algunes coses desde el inicio:
C no puede ser mayor que 10, ya que el nº mínimo es 1, b no puede ser 0 i c11, dando 33.
Después he calculado que a tampoco puede ser más grande que 12, ya que si es 13 da exacto 39, i como b no puede ser 0, pasa lo mismo que antes”

 






Aquest alumne ha analitzat perfectament les condicions que estableixen les afirmacions de l’enunciat i, abans de començar, ja limita les possibilitats dels valors que poden prendre les variables fent una justificació perfecta. Demostra un nivell molt alt de la competència 5.

Alumne 4:
També demostra un bon raonament en relacionar aquestes dues condicions per poder veure una de les equivalències: “plàtan= pruna + 2”. Aquest mètode que busca les equivalències de les diferents expressions és fonamental pel foment del pensament algebraic.

Alumne 5:

 “Sinceramente no he encontrado ninguna  fórmula. He ido probando cosas diferentes; en varias columnas, pero en la columna de abajo que había 4 frutas….” “El número 29, ibas probando. Al haber 3 moras en una misma columna te ayudaba a encontrar los valores, 2 porque la suma era 33 y había 3 moras y una manzana, y en otra columna, había 3 plátanos y una manzana. Así que yo me he centrado en estas 3 columnas. A partir de ellas he ido probando para obtener una solución”                                                   

L’alumne admet que no sabia com fer i com trobar el camí i ha començant posant números a la fila de sota que tenia els quatre valors, continuant per a que encaixés tota la resta de valors. També explica que una columna, la columna de les mores, en haver-hi 3, li ha ajudat a trobar millor el valor per que la suma era 33.
Per nosaltres, dins de la competència 2 estaria en el nivell 1-2 ja que encara que fa exploració i temptejos, és capaç de trobar totes les respostes i fa proves cada vegada per a que els valors li encaixin.
Igualment en la competència 5 (nivell 1-2) ja que encara que no raona tot el procés,  i reconeix i fa servir alguna connexió que li ajuda en la cerca del resultat.
Per últim, l’alumne 6:

Fa una tàctica d’aproximació fent un tempteig a una de les igualtats que en principi li funciona. Però el que està bé és que, com diu en l’apartat 2: “busco una altra operació i comprovo la meva “idea”” , per tant, sap que podria ser una conjectura falsa i fa comprovacions parcials de cada un dels resultats. Cal destacar també, que té un vocabulari matemàtic molt elevat: variable, substitueixo valors, comprovo,.. Per tant, demostra un molt alt grau tant a la competència 2, ja que va mantenint el control del procés i comprovant la raonabilitat de les respostes i també, respecte a la competència 5, explicita i argumenta tots els passos del seu raonament i, tot i que la primera aproximació podria no ser molt acurada, en fer la comprovació s’assegura de la seva validesa.

Leave a Reply

L'adreça electrònica no es publicarà.